Вот казалось бы, что сложного измерить береговую линию. Ну да, она сложная, искривленная. Но это же не бактерия какая нибудь миниатюрная. Прошелся да измерил все вдоль границы. Однако, как вы поняли, тут совсем не все так просто.
Незадолго до 1951 года Льюис Фрай Ричардсон в ходе исследования предполагаемого влияния длины государственных границ на вероятность начала военных конфликтов заметил следующее: Португалия заявила, что её сухопутная граница с Испанией равна 987 км, а Испания определила её равной 1 214 км.
Этот факт послужил отправной точкой для изучения проблемы береговой линии и к необычному выводу: длина береговой линии оказывается недостижимым понятием, скользящим между пальцами тех, кто пытается его понять.
Основным методом оценки длины границы или береговой линии было наложение N равных отрезков длиной l на карту или аэрофотоснимок с помощью циркуля. Каждый конец отрезка должен принадлежать измеряемой границе. Исследуя расхождения в оценке границ, Ричардсон обнаружил то, что сейчас называется эффектом Ричардсона: масштаб измерений обратно пропорционален общей длине всех отрезков. То есть чем короче используемая линейка, тем длиннее измеряемая граница. Таким образом, испанские и португальские географы попросту руководствовались измерениями разных масштабов.
Наиболее поразительным для Ричардсона оказалось то, что когда величина линейки стремится к нулю, длина побережья стремится к бесконечности. Изначально Ричардсон полагал, опираясь на Евклидову геометрию, что эта длина достигнет фиксированной величины, как это происходит в случае с правильными геометрическими фигурами. Например, периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность, приближается к длине самой окружности с увеличением числа сторон (и уменьшением длины каждой стороны). В теории геометрических измерений такая гладкая кривая, как окружность, которая может быть приближённо представлена в виде небольших отрезков с заданным пределом, называется спрямляемой кривой.
Спустя более десяти лет после завершения Ричардсоном своей работы Мандельброт разработал новую ветвь математики — фрактальную геометрию — для описания таких неспрямляемых комплексов, существующих в природе, как бесконечная береговая линия
Ключевым свойством фракталов является самоподобие, заключающееся в проявлении одной и той же общей фигуры на любом масштабе. Береговая линия воспринимается как чередование заливов и мысов. Гипотетически, если данная береговая линия имеет свойство самоподобия, то независимо от того, насколько сильно масштабируется та или иная часть, всё равно проявляется аналогичная картина меньших заливов и мысов, наложенная на бо́льшие заливы и мысы, вплоть до песчинок. На таких масштабах береговая линия оказывается мгновенно изменяющейся, потенциально бесконечной нитью со стохастическим расположением заливов и мысов. В таких условиях (в отличие от гладких кривых) Мандельброт утверждает: «Длина береговой линии оказывается недостижимым понятием, скользящим между пальцами тех, кто пытается его понять"
В реальности на береговых линиях отсутствуют детали меньше 1 см[источник не указан 918 дней]. Это связано с эрозией и другими морскими явлениями. В большинстве мест минимальный размер гораздо больше. Поэтому модель бесконечного фрактала не подходит для береговых линий.
Из практических соображений выбирают минимальный размер деталей равным порядку единиц измерения. Так, если береговая линия измеряется в километрах, то небольшие изменения линий, гораздо меньшие одного километра, просто не принимаются во внимание. Для измерения береговой линии в сантиметрах должны быть рассмотрены все небольшие вариации размером около одного сантиметра. Однако на масштабах порядка сантиметров должны быть сделаны различные произвольные нефрактальные допущения, например, там, где устье присоединяется к морю, или в тех местах, где должны быть проведены измерения на широких ваттах. Кроме того, использование различных методов измерения для разных единиц измерения не позволяет сделать преобразование этих единиц с помощью простого умножения.
Для определения государственных территориальных вод строят так называемые прямые исходные линии, соединяющие официально установленные точки побережья. Длину такой официальной береговой линии тоже не составляет труда измерить.
Предельные случаи парадокса береговой линии включают побережья с большим числом фьордов: это побережья Норвегии, Чили, северо-западное побережье Северной Америки и другие. От южной оконечности острова Ванкувер в северном направлении до южной оконечности Юго-Восточной Аляски изгибы побережья канадской провинции Британская Колумбия составляют более 10 % длины канадской береговой линии (с учётом всех островов Канадского Арктического архипелага) — 25 725 км из 243 042 км на линейном расстоянии, равном всего 965 км.
Источник:
Комментарии (2)